Brownian motion ile random walk arasındaki fark nedir?

Random walk kesikli zamanda ve kesikli adımlarla gerçekleşir. Brownian motion ise sürekli zamanda ve sürekli değerlerle tanımlanan limitidir. Matematiksel olarak, adım büyüklüğü ve zaman aralığı sıfıra yaklaştığında uygun ölçeklendirilmiş random walk, Brownian motion'a yakınsar (Donsker Teoremi).

Neden hisse fiyatlarını doğrudan Brownian motion ile modelleyemeyiz?

Standart Brownian motion negatif değerler alabilir, oysa hisse fiyatları sıfırın altına düşemez. Ayrıca yüzdesel değişimler daha anlamlıdır: 100 TL'lik hissedeki 5 TL artış ile 1000 TL'lik hissedeki 5 TL artış farklı önemdedir. Bu sorunları çözmek için fiyatın logaritmasının Brownian motion izlediği Geometrik Brownian Motion kullanılır.

Wiener süreci ile Brownian motion aynı şey midir?

Evet, genellikle eş anlamlı kullanılır. "Brownian motion" fiziksel fenomeni ve matematiksel modeli kapsar. "Wiener süreci" ise Norbert Wiener'in kesin matematiksel tanımını vurgular. Fizikte ve uygulamalı bilimlerde Brownian motion, saf matematikteyse Wiener süreci terimi daha yaygındır.

Karesel varyasyonun \( (dW)^2 = dt \) olması neden önemlidir?

Klasik kalkülüste \( (dx)^2 \) ihmal edilir çünkü sıfıra gider. Brownian motion'da \( (dW)^2 = dt \) olduğu için bu terim ihmal edilemez. Bu, Ito'nun Lemması'nda ek bir terim yaratır ve finansal modellerde \( -\sigma^2/2 \) düzeltme faktörünü ortaya çıkarır.

Brownian motion'ın martingale ile ilişkisi nedir?

Standart Brownian motion bir martingaldir: \( E[W(t) \mid W(s)] = W(s) \). Bu "adil oyun" özelliği, risk-nötr fiyatlamada iskonto edilmiş fiyat sürecinin martingale olması gerektiği varsayımıyla doğrudan bağlantılıdır.

Brownian Motion Nedir? Wiener Süreci ve Sürekli Rast...