Determinant sıfır olunca tam olarak ne olur?

Matris "tekil" (singular) olur ve tersi yoktur. \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) denkleminin ya sonsuz çözümü ya da hiç çözümü yoktur. Finansta: kovaryans matrisi tekil ise portföy optimizasyonu standart yöntemlerle çözülemez, regresyon katsayıları belirlenemez. Bu durum genellikle varlık sayısının gözlem sayısını aşmasından veya varlıklar arasındaki tam bağımlılıktan kaynaklanır.

Cramer Kuralı pratikte kullanılır mı?

Cramer Kuralı teorik olarak eleganttır ama pratikte 3x3'ten büyük sistemler için çok yavaştır (hesaplama karmaşıklığı \( O(n!) \)). Modern finans yazılımları bunun yerine LU ayrıştırma (\( O(n^3) \)) veya Cholesky ayrıştırma kullanır. Ancak 2x2 ve 3x3 sistemlerde hızlı elle hesap için hala kullanışlıdır ve sınavlarda sıkça sorulur.

Multicollinearity sorununu nasıl tespit ederim?

En yaygın yöntem: (1) VIF (Variance Inflation Factor) hesaplayın -- 10'dan büyükse sorun var. (2) Korelasyon matrisinde 0.9'dan büyük değerlere bakın. (3) \( X^TX \) matrisinin koşul sayısını (condition number) kontrol edin -- çok büyükse sayısal kararsızlık var. (4) Özdeğerlerden birinin sıfıra çok yakın olması da göstergedir. Çözüm: değişken elemek, PCA ile boyut indirgemek veya Ridge regresyon (regularizasyon) kullanmak.

Büyük matrislerin determinantı nasıl hesaplanır?

Elle hesap 3x3'e kadar pratiktir. Kofaktör açılımı \( O(n!) \) işlem gerektirir -- 10x10 matris için bile milyonlarca işlem. Pratikte LU ayrıştırması kullanılır: matris alt ve üst üçgensel matrislere ayrıştırılır, determinant köşegen elemanlarının çarpımıdır. Simetrik pozitif belirli matrisler için Cholesky ayrıştırma daha da hızlıdır. Python'da numpy.linalg.det(A) bu algoritmaları otomatik kullanır.

Determinant ve Ters Matris: Lineer Denklem Çözümü