Lagrange çarpanı λ negatif olabilir mi?

Evet, eşitlik kısıtlarında λ herhangi bir gerçek sayı olabilir — pozitif, negatif veya sıfır. Negatif λ, kısıtı gevşetmenin amaç fonksiyonunu azaltacağı anlamına gelir. Eşitsizlik kısıtlarında (KKT) ise çarpanlar sıfır veya pozitif olmak zorundadır.

Birden fazla kısıt olduğunda ne yapılır?

Her kısıt için ayrı bir λ çarpanı eklenir. Örneğin, ağırlık kısıtı için λ₁, getiri kısıtı için λ₂ kullanılır. Lagrangian şöyle olur: L = f(x) - λ₁g₁(x) - λ₂g₂(x). Daha fazla kısıt, daha fazla denklem demektir ama yöntem aynıdır.

Lagrange çarpanları her zaman çözüm garantisi verir mi?

Lagrange koşulları "gerekli" koşullardır — optimum nokta bu koşulları sağlamalıdır. Ama "yeterli" koşul değildir — koşulları sağlayan her nokta optimum olmayabilir. İkinci türev testi veya convexity kontrolü ile optimumun minimum mu maksimum mu olduğu doğrulanmalıdır. Convex problemlerde bu sorun yoktur çünkü lokal optimum = global optimumdur.

Portföy optimizasyonunda kaç tane kısıt tipik olarak kullanılır?

Pratik bir portföy optimizasyonunda tipik kısıtlar: ağırlık toplamı = 1 (1 eşitlik), hedef getiri (1 eşitlik), açığa satış yasağı (n eşitsizlik, varlık sayısı kadar), üst sınırlar (n eşitsizlik), sektör limitleri (değişken sayıda). 50 varlıklı bir portföyde kolayca 100+ kısıt olabilir — bu nedenle elle çözüm imkansızdır ve sayısal yöntemler kullanılır.

Lagrange çarpanları ve gradyan inişi arasındaki fark nedir?

Lagrange çarpanları analitik bir yöntemdir — denklem sistemini kurarak kesin çözümü bulur. Gradyan inişi ise iteratif bir yöntemdir — adım adım optimuma yaklaşır. Küçük ve düzgün problemlerde Lagrange kesin çözüm verir. Büyük, karmaşık veya non-convex problemlerde gradyan inişi gibi sayısal yöntemler tercih edilir. Pratikte modern çözücüler ikisini de bir arada kullanır.

Lagrange Çarpanları Nedir? Kısıtlı Optimizasyon