Lineer donusum nedir, basitce nasil aciklanir?

Lineer donusum, vektorleri kuralli sekilde baska vektorlere esleyen fonksiyondur — ve her zaman bir matris carpimiyla ifade edilir. Olcekleme, dondurme, projeksiyon, boyut degistirme — hepsi lineer donusumdur. Finansta: portfoy getirisi hesaplama (\( R\mathbf{w} \)), faktor modeli (\( B\mathbf{f} \)), PCA donusumu (\( W^T\mathbf{x} \)) — hepsi lineer donusum ornekleridir.

Boyut indirgeme neden gerekli?

Yuksek boyutlu veri uc sorun yaratir: (1) Hesaplama maliyeti — kovaryans matrisi \( n^2 \) eleman icerir, tersi \( O(n^3) \) islem gerektirir. (2) Parametre tahmini — 500 hisseli portfoy icin 125,000 kovaryans degeri tahmin etmek icin cok uzun veri serisi gerekir. (3) Overfitting — cok fazla parametre, modelin gurultuye uymasina neden olur. Boyut indirgeme bu uc sorunu da hafifletir.

PCA ve faktor modeli arasindaki fark nedir?

PCA, tamamen istatistiksel bir yontemdir — faktorlere anlam atamaz, sadece varyansı en iyi aciklayan yonleri bulur. Faktor modeli ise onceden tanimlanmis, ekonomik anlami olan faktorler kullanir (piyasa, buyukluk, deger gibi). PCA faktorleri yorumlanması guc olabilir ("PC1 nedir?" sorusunun net cevabi yoktur), ama faktor modeli faktorleri aciktir ("piyasa getirisi"). Her ikisi de lineer donusumdur, yaklasimlari farklidir.

Rank neden onemlidir?

Rank, matrisin icerdigi bagimsiz bilgi miktarini gosterir. Eger kovaryans matrisinin rank'i varlik sayisindan dusukse, matris tekil olur ve tersi alinmaz — portfoy optimizasyonu ve regresyon bozulur. Bu durum genellikle gozlem sayisi < varlik sayisi oldugunda ortaya cikar. Cozum: boyut indirgeme ile etkin rank'a indirgeme veya regularizasyon.

Lineer Dönüşümler ve Boyut İndirgeme