Poisson süreci ile Brownian motion farkı nedir?

Brownian motion sürekli bir süreçtir — yolu kesintisiz ve pürüzsüzdür (aslında hiçbir noktada türevlenemez, ama yine de süreklidir). Poisson süreci ise kesikli sıçramalar yapan bir süreçtir — çoğu zaman sabittir, sonra aniden 1 birim atlar. Brownian motion küçük, sürekli fiyat hareketlerini modeller; Poisson süreci nadir ama ani olayları modeller. Merton'un jump-diffusion modeli bu ikisini birleştirir.

Lambda nasıl tahmin edilir?

Lambda'nın en basit tahmini, gözlemlenen olay sayısını toplam zamana bölmektir: \( \hat{\lambda} = n/T \). Örneğin, 5 yılda 12 büyük piyasa şoku gözlemlediyseniz, \( \hat{\lambda} = 12/5 = 2.4 \) şok/yıl. Daha sofistike yöntemler arasında maksimum olabilirlik tahmini (MLE) ve Bayesci yaklaşımlar bulunur. Lambda zamanla değişiyorsa, pencereli tahmin veya Kalman filtresi kullanılabilir.

Jump-diffusion normal GBM'den ne farkı var?

GBM sürekli fiyat yolları üretir — fiyatlar asla "atlamaz". Jump-diffusion ise GBM'nin üzerine Poisson sıçramaları ekler, böylece fiyatlar arada sırada ani ve büyük hareketler yapar. Bu, gerçek piyasa davranışına daha uygundur. Opsiyon fiyatlama açısından jump-diffusion modeli özellikle kısa vadeli, derin out-of-the-money opsiyonlarda GBM'den farklı fiyatlar üretir ve volatilite gülümsemesini daha iyi açıklar.

Flash crash'ler Poisson ile modellenebilir mi?

Basit bir ilk yaklaşım olarak evet — flash crash'lerin zamanlamasını Poisson süreci, büyüklüğünü ayrı bir dağılımla modelleyerek Compound Poisson yaklaşımı kullanılabilir. Ancak flash crash'ler genellikle bağımsız değildir (biri diğerini tetikleyebilir) ve kümelenme eğilimi gösterir. Bu yüzden Hawkes süreci veya regime-switching modelleri daha gerçekçi alternatiflerdir. Yine de Poisson modeli risk yönetiminde temel bir kıyaslama noktası olarak değerlidir.

Compound Poisson süreci nedir?

Standart Poisson sürecinde her olay sayacı tam olarak 1 artırır. Compound (bileşik) Poisson sürecinde ise her olay rastgele bir büyüklüğe sahiptir. Matematiksel olarak \( X(t) = \sum_{i=1}^{N(t)} Y_i \) şeklinde tanımlanır; burada \( N(t) \) Poisson süreci ve \( Y_i \) her olayın rastgele büyüklüğüdür. Bu model, farklı büyüklükteki piyasa şoklarını, sigorta hasarlarını veya kredi kayıplarını modellemek için kullanılır.

Poisson Süreci Nedir? Nadir Olayların Modellemesi